Оценка опциона

\Существует целый ряд методов оценки опционов. Один из каиболее популярных методов был разработан двумя американскими экономистами Ф. Блэком (Fisher Black) и М. Скоулзом (Цугоп Scholes).

| Первое и наиболее простое допущение касается "детерми- нйрованности" мира, в том смысле, что операционные издержки отсутствуют и компания не выплачивает дивиденды. Это дает нам ’’эквивалент детерминированности" в виде формулы ценообразования опциона Блэка и Скоулза:

Ро ~ Ра Ре е

где р0 — опционная премия; ра — фактическая цена акции; ре — оговоренная цена;

г — свободная от риска (ежегодная) ставка процента; t — время до исполнения опциона в долях от года.

Пример

Текущая цена акции составляет 60 пенсов, и по этим акциям предложен 90-дневный опцион по оговоренной цене 55 пенсов. Свободная от риска ежегодная ставка процента составляет 4% в год.

Опционная цена (премия) в свободных от риска условиях составляет:

р0 = 60 - 55 х е-(0,04 X 90/365) = 60 - 55 х 0,9902 = 5,54 пенса.

При этом методе оценки опциона цена (или премия) опциона приравнивается к приведенной стоимости выигрыша инвестора. Однако в эту формулу не включен один фактор реального мира, который создает заинтересованность в опционах, т. е. способность опционов поглощать риск акций, лежащих в основе опциона, Ф. Блэк и М. Скоулз при исследовании оценки опционов показали, что опцион на покупку эквивалентен покупке обыкновенных акций в таком сочетании с займами, чтобы получить идентичные выплаты (дублирующая сделка). Чтобы избежать возможности арбитража:

Цена опциона на покупку =

Стоимость приобретения акций стоимость займа по дублирующей сделке.

Чтобы объяснить основу этой модели* мы рассмотрим про- / стой пример, где возможны только два состояния цены акции.

Пример              /

Текущая цена акции составляет 100 пенсов и предлагается 9Й- дневный опцион на покупку по оговоренной цене 100 пенсов. Текущая ставка процента по займам равна 10% в год. Для простоты изложения мы предположим, что риск влияет на цену акции только следующим образом: через 90 дней цена акции будет равна либо 80, либо 120 пенсам.              !

Теперь постараемся определить цену опциона на покупку 1000 акций.              )

Цена акции              80              пенсов 120 пенсов

Прибыль от опциона на покупку через 90 дней 0              ?              200

Если цена упадет до 80 пенсов, опцион не принесет ничего; если цена повысится до 120 пенсов, владелец опциона сможет купить акции по 100 пенсов и продать по 120 пенсов, что принесет прибыль ? 200.

Теперь определим, какое сочетание покупки акций в данный момент и продажи через 90 дней при финансировании с помощью займа принесет такую же прибыль. Это довольно простая задача, где мы хотим определить количество акций (7V), которое при продаже акций по ? 0,80 обеспечивает выплату идентичной суммы займа с нулевой прибылью:

0,80 N — сумма займа = 0 (нулевая прибыль,

если цена упадет до 80 пенсов) (i)

и то же количество акций при продаже по ? 1,20 даст прибыль в ? 200 после выплаты суммы займа:

1,20 N — сумма займа = 200 (прибыль в ? 200,

если цена за акцию поднимется до 120 пенсов).              (ii)

Отсюда              ^

Сумма займа = 0,80 Л^из уравнения (i)).

Подставляя эту величину в (ii), получаем

1,20 N — 0,80 N = 200

N = 200/0,4,

N = 500 акций

\

и после подстановки сумма займа равна ? 400.

Теперь можно получить таблицу прибыли для дублирующей стратегии: cellpadding="0">

Цена акции

80 пенсов

120 пенсов

Продажа 500 акций

? 400

? 600

Погашение займа

? 400

? 400

Прибыль

0

? 200

Поэтому приобретение 500 акций и получение займа с суммой выплат (включая проценты) ? 400 дает такую же прибыль, ^ак и опцион на покупку 1000 акций.

\ Покупка акций 500 х ? 1,00              =              ? 500,00

¦ Минус приведенная стоимость займа 400 х е-0’1 х 90/365 = ? 390,26

1 Издержки инвестора на дублирующую сделку              =              ? 109,74

)

\

Из этого примера мы получаем три важных вывода: Цена опциона определяется ставкой процента и длительностью времени до его исполнения. Чем выше ставка процента или больше временной интервал, тем больше снижа- ется приведенная стоимость займа, что увеличивает издержки на дублирующую сделку. Цена опциона определяется как издержки на дублирующую сделку по соответствующим акциям, где риск дублирующей сделки сопоставляется с риском опциона с помощью займа (с идентичными прибылями). Мы знаем из закона арбитража (равновесия), что два вида ценных бумаг с одинаковой доходностью и риском должны предлагаться по одинаковой цене. Здесь мы имеем фактически два актива: (а) опционный договор и (б) сопоставляемую сделку с идентичной прибылью и риском.

(ш) Для дублирующей сделки требуется 500 акций, а для опционного договора — 1000. Тем самым соотношение акций 2 : 1 компенсирует риск покупки за 100 пенсов этих акций при возможных ценах в будущем 80 и 120 пенсов. Соотношение 2 : 1 дает так называемый коэффициент хеджа (коэффициент страховки), необходимый для устранения риска соответствующей сделки. Стоимость этого хеджа, равная цене опционного договора, определяется риском по соответствующей сделке.

г

На практике возможная цена акции подвержена случайному распределению, т. е. может иметь больше двух значений. Модель определения цены опциона, разработанная Ф. Блэком и М. Скоулзом, основана на предыдущем примере, но предполагает следующее: изменение курса акций носит случайный характер, который называется "случайным блужданием";

цены акций изменяются непрерывно и без мгновенных / скачков;              j

(Ш) распределение цен подвержено логарифмически нормаль-/ ному закону.              /

При соблюдении этих условий и при отсутствии операционных издержек или штрафов для "коротких продаж" (продаже со ставкой на понижение), а также выплат дивидендов цейа европейского опциона на покупку, равная стоимости акцйй дублирующей сделки за вычетом суммы займа для этой сделки, определяется по следующей формуле:              1

р0 = N (d\) Ра~ N (d2) ре

где

В этих двух факторах риска используются те же переменные, что и выше, в формуле детерминированности, за исключением а2 — дисперсии непрерывного распределения доходов по акции (в расчете на год), In — натуральный логарифм.

Функция N указывает, что dx и lt;/2 должны быть преобразованы в значения, представляющие вероятность того, что нормированная случайная величина с нормальным распределением меньше или равна соответственно d\ и N(d\) — коэффициент хеджа, a Nidj) — доля приведенной стоимости оговоренной цены, которую нужно получить в виде займа.

Эта формула может показаться несколько сложной, однако она входит в современный стандартный набор средств финансистов и включена в финансовые программы. Кроме того, даже при допущениях, на которых она базируется, эта формула хорошо прогнозирует цены опционов на организованных вторичных рынках опционов по акциям, выпущенным в Великобритании и США. Единственной проблемой при использовании этой формулы является оценка величины дисперсии непрерывного распределения доходов по акции.

Пример

^р

Текущая цена обыкновенных акций "TEC Ltd" с номинальной стоимостью 25 пенсов составляет 155 пенсов. Предлагается 90- дневный опцион по оговоренной цене 150 пенсов. Дисперсия непрерывного распределения доходов по акциям составляет 14% и свободная от риска ставка процента оценивается в 5%.

[ln(!55 / 150) + (0,05 + 0,5 x 0,14) x (90 / 365)] ^0,14              x              (90 / 365)

= [0,03279 + 0,02959]/0,18580 = 0,33574 и N{dx) = 0,63147,

d2 = 0,33574 - 0,18580 = 0,14994 и N(d2) = 0,55968.

Подставив эти данные в основную формулу, получаем: р0 = 155 х 0,63147 + 0,55968 *150 х *(90/365) = 14?95 пеНсов.

Теперь, когда мы имеем модель оценки опциона, можно сделать некоторые завершающие замечания о границах изменения цены опциона на покупку для инвестора. Во-первых, цена опциона никогда не превышает текущей цены соответствующей акции (в противном случае компонент оговоренной цены в формуле для цены опциона равен нулю). Во-вторых, цена опциона должна быть ограничена снизу нулевым значением (если оговоренная цена не превышает текущей цены) или разностью между оговоренной ценой и текущей ценой при немедленном исполнении опциона.

Графически зону возможных значений цены опциона можно представить в виде заштрихованной области на рис.11.4. Фактическая цена опциона внутри этой области определяется описанными выше факторами. При нулевой цене акции цена

Цена опциона на покупку

(Ро)

Рис. 11.4. Диапазон оценки опциона на покупку

любого опциона по этой акции также равна нулю. Если цена акции начинает настолько превосходить оговоренную цену, что риск неисполнения опциона стремится к нулю, цена опциона стремится к прибыли от исполнения самого опциона. Однако в промежуточных областях, где изменчивость цены акции такова, что вероятность неисполнения опциона становится существенной, цена опциона становится наиболее высокой.

Примечание: цена опциона на продажу обратна цене опциона на покупку. Из рис.11.3 видно, что опцион на покупку имеет смысл только в том случае, когда цена соответствующей акции оказывается ниже оговоренной.