Концепция эффективного множества портфелей

Предположим, что наш инвестор учитывает риск, т. е.: если два портфеля дают одинаковый доход, он выберет портфель с минимальным риском; если два портфеля несут одинаковый риск, он выберет портфель, дающий максимальный доход.

В этой ситуации, если взять описанный выше пример с двумя видами ценных бумаг, выбираются только портфели, находящиеся на правом конце вероятного множества. Например, на рис. 10.6 портфели М и М' имеют одинаковый риск, но в соответствии с указанным выше принципом (ii) будет выбран портфель М\ Выделенная жирной линией часть вероятного множества представляет наиболее эффективные по доходности портфели, имеющиеся в распоряжении лица, принимающего решения, для любого возможного уровня риска.

Жирной линией показано то, что называется "эффективным множеством портфелей”. Лицо, принимающее решение, выберет портфель Р с помощью набора функций предпочтения:

U = {и | г/1, ы2у иЗ, ...}.

Вы можете самостоятельно проверить, что набор кривых "безразличия" (инвариантных кривых) согласуется с тем, что учитывает риск и что иЪ gt; и2 gt; и\ (где знак gt; означает "имеет большую предпочтительность, чем").

i

Доходность

Рис. 10.6. Случай двух видов ценных бумаг

с эффективным множеством
6 Стратегический учет для руководителя

Эффективное множество при более чем двух активах

В ситуации, когда лицо, принимающее решение, имеет в своем распоряжении более двух активов или видов ценных бумаг, доходность портфеля определяется из следующей формулы;

Гр = Г\ + Иgt;2 Г2 + Щ r3 + w4 Г4

(в случае четырех видов ценных бумаг), где гр — доходность портфеля;

wn — весовой коэффициент п-то вида ценных бумаг или актива пропорционально его ценности (стоимости) в портфеле; гп — доходность п-го вида ценных бумаг или актива.

Риск портфеля с четырьмя видами ценных бумаг измеряется средним квадратическим отклонением доходности портфеля. Для получения этой величины мы должны сначала составить дисперсионно-ковариационную матрицу. Дисперсия (т. е. квадрат среднего квадратического отклонения) доходности портфеля задается: взвешенной суммой дисперсий каждого вида ценных бумаг плюс взвешенной суммой попарных ковариаций всех видов ценных бумаг.

Соответствующая дисперсионно-ковариационная матрица имеет следующий вид:

' wi wj lt;хц +              w\ w2 а 12              + Щ              wj +              w\ w4              сг14

w2 wx g2\ +              W2 w2 u22              + W2              М'з lt;x23 +              W2 щ              lt;t24

w3 Wj CT31 +              W3 w2 СГ32              + Щ              W3 СГ33 +              Щ w4              СГ34

W4 Wi CT41 +              w4 W2 CT42              + Щ              ttgt;3 (У43 +              W4 w4              СГ44

где оц — дисперсия (вариация) доходности первого вида ценных бумаг;

ст|2 — ковариация доходности первого вида со вторым и тд.; wn — весовой коэффициент л-го вида.

Дисперсия доходности портфеля определяется как сумма всех членов этой матрицы. Как и раньше, риск определяется как среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из дисперсии.

Для портфеля с четырьмя видами ценных бумаг мы можем определить портфель с минимальным риском, который можно получить из расчета для всех уровней риска и затем — из эффективного множества. Эффективное множество для данного случая лежит в нижней правой части окружности (отсюда тер

мин "эффективная граница") полного множества всех портфелей, которые получаются из этих четырех видов ценных бумаг, и один из этих портфелей является целью экономически рационального лица, которое старается получить максимальную доходность при заданном уровне риска или минимальный риск при заданном уровне доходности.

На практике информационные требования для портфельного анализа более сложных компонентов, чем набор различных ценных бумаг, привели исследователей к более эффективным методам определения портфелей, оптимизированных по риску-доходности. Мы вернемся к этим методам в следующей главе. Однако, портфельный анализ находится на уровне общих рассуждений и не вникает в проблемы измерений, он дает очень полезные теоретические методы, которые могут использоваться в инвестиционной практике.