Построение модели водохранилища как пример имитационного моделирования

Предположим, что для различных хозяйственных нужд требуется образовать запас пресной воды и управлять им так, чтобы в течение пяти лет наилучшим образом удовлетворять возникающие потребности в пресной воде.

Что требуется для правильного выбора стратегии удовлетворения потребностей в пресной воде? Очевидно, нужно знать, какой запас воды имеется в водохранилище в данный момент и как он будет изменяться на протяжении пяти лет под влиянием различных факторов.

Итак, нас интересует величина Xі — запас воды в водохранилище в момент t — и ее изменение со временем (t=i,..., 5). Факторы, влияющие на изменение Xі, можно разделить на две большие группы: природные и антропогенные (связанные с деятельностью человека).

К природным факторам относятся: —

приток воды по реке, на которой расположено водохранилище (обозначим его PR*)', —

пополнение запаса воды за счет боковой приточности РВ1; —

выпадение осадков РОг; —

испарение воды с поверхности водохранилища PU1; —

фильтрация воды в нижнем створе водохранилища PF1.

Заметим, что список факторов очень трудно (да и не нужно)

сделать исчерпывающим. Например, к перечисленным факторам можно добавить снеготаяние. Однако если водохранилище расположено в зоне с положительными средними зимних температур, то процессы формирования снежного покрова и снеготаяния можно не учитывать. Таким образом, в список следует включить лишь самые существенные факторы, без рассмотрения которых обойтись невозможно; менее существенными факторами рекомендуется пренебрегать, иначе картина станет необозримой.

К антропогенным факторам можно отнести: —

спуск воды через плотину РР —

расход воды на нужды потребителей (будем считать, что основных потребителей два — сельское хозяйство ZA и коммунальное водоснабжение ZC1).

Проведенный анализ действующих факторов позволяет построить так называемую концептуальную модель водохранилища (рис.

Рис. 2.1.1. Концептуальная модель водохранилища. Стрелками показано направление потоков

Следующий вопрос: как находить значения указанных факторов в настоящем и особенно в будущем?

Факторы PRl, РО \ РВ1 доступны непосредственному наблюдению и измерению. Гидрометеорологи собирают соответствующие данные и систематизируют их в специальных справочных изданиях. Таким образом, имеются таблицы, содержащие значения величин PR1, РО1, РВ1 за длительные периоды времени в прошлом (временные ряды). Но как использовать собранную информацию для прогноза будущих значений указанных величин?

Можно считать, что в каждый момент временя * = 1,..., 5 значения величин PR1, РО *, РВ1 равны среднему значению этих величин за предшествующие, скажем, 20 лет, например:

о

РО1 = РО ср = 0,05 ? РОт , * = 1,...,5. (2.1.1)

т = - 19

Другими словами, можно считать величины PR1, РО1, РВ1 детерминированными и однозначно определить законы их изменения в будущем на основании имеющихся временных рядов.

Однако разумнее предположить, что процессы формирования речного стока, боковой приточности и осадков носят случайный характер, и применить для их исследования статистические методы.

Можно, например, выдвинуть некоторую гипотезу о виде распределения соответствующей случайной величины, а затем проверить ее с помощью имеющихся данных (проверка статистической гипотезы).

А можно действовать и иначе — по известным рядам наблюдений построить функции (возьмем, к примеру, осадки)

Р01 = Р0\ + Р012, (2.1.2)

где РО f — детерминированная составляющая величины РО \ характеризующей количество осадков (ее можно взять равной величине РОср из (2.1.1)); РО 2 — случайная составляющая, которую

обычно считают распределенной по нормальному закону.

Детерминированная составляющая отражает устойчивые тенденции, определяющие распределение РО1 на длительных промежутках времени (так называемый тренд), а случайная — возможные отклонения от тренда, вызываемые действием ряда факторов.

Таким образом, для тех величин, для которых имеются временные ряды наблюдений, можно решить задачу прогнозирования в рамках детерминированного или стохастического подхода.

А вот величины PUl, PF1 прогнозировать указанными методами нельзя, поскольку они непосредственно не измеряются и ряды наблюдений для них отсутствуют.

Зато известно, что объем воды, испаряющейся с зеркала водохранилища PU1, зависит от ряда факторов: температуры воды и воздуха, дефицита влажности воздуха, скорости ветра и других, которые уже поддаются измерению, и для них есть 20-летние ряды наблюдений.

Таким образом, для сведения задачи прогнозирования непосредственно не измеряемых величин к уже решенной достаточно выявить их зависимость от факторов, для которых имеются ряды наблюдений. В нашем примере можно считать, что величина RU1 прямо пропорциональна дефициту влажности воздуха D *, т.е.

- RU^aD1, (2.1.3)

где а — эмпирический коэффициент пропорциональности.

Заметим, что здесь мы вновь опускаем зависимость от ряда менее существенных факторов.

Объем воды RF1, профильтровавшейся в нижнем створе водохранилища, также непосредственно не измеряется. Предположим, что величина RF1 пропорциональна объему воды в водохранилище и зависит от типа подстилающих грунтов, т.е.

РР* = кХ\ (2.1.4)

где к — характеристика типа грунта.

Нам осталось рассмотреть величины РР1, ZAl, ZCК Они имеют принципиально иную природу, нежели рассмотренные ранее величины: именно, эти переменные являются управляемыми, т.е. их значения дирекция водохранилища (или автор модели) может задавать по своему усмотрению (конечно, с учетом соответствующих ограничений, задающих область допустимых значений).

Положим, например,

,2,'5)

где V — максимально допустимый объем воды в водохранилище.

В свою очередь, величины ZA *, ZC1 формируются в зависимости от объема воды в водохранилище и запросов на воду со стороны потребителей в размере SAt, SC* соответственно.

Теперь мы можем провести классификацию переменных, входящих в состав имитационной модели (рис. 2.1.2).

ПЕРЕМЕННЫЕ

Внутренние Внешние

Управляемые Неуправляемые

Случайные Неопределенные

Рис. 2.1.2. Классификация переменных имитационной модели

В нашей модели водохранилища внутренней переменной является Xі. Ее значения определяются исходя из известного начального состояния и зависимостей от других переменных. Внутренней переменной можно считать и PF1, связанную с Xі функциональной зависимостью.

Остальные переменные модели являются внешними, т.е. не определяются в самой модели, а задаются некоторым образом извне. Управляемые переменные (в нашем примере РР1, ZAl, ZC*) выбираются руководителем или исследователем по своему усмотрению (например, по формуле (2.1.5) или другому правилу).

Неуправляемые переменные не зависят от воли субъекта исследования: их значения можно лишь регистрировать.

Итак, мы выявили все существенные процессы формирования запаса воды в водохранилище; схема движения потоков воды показана на рис. 2.1.1. Движение воды подчиняется закону сохранения, т.е. ее запас на каждом интервале времени увеличивается на величину «прихода» и уменьшается на величину «расхода». Запишем этот закон сохранения массы воды:

Х1 + ^1 = Х1 + Р01 + РИ1 + РВ1-Ри1-РР1-РР1-ЪА1-гС1, (2.1.6) X° = Z0, < = 0, At, 2At,..„ Т-At. (2.1.7)

Уравнение (2.1.6) называется уравнением водного баланса. Оно показывает изменение запаса воды в водохранилище в зависимости от природных условий и стратегии распределения запаса между потребителями. Используя уравнение водного баланса вместе с начальными условиями (2.1.7), можно решить задачу прогноза: ответить, чему равен запас воды в водохранилище в любой момент времени t при заданных условиях пополнения и расходования воды. 2.2.